ثانية ثانوى مراجعة نهائية الجزء الثانى انشقاق ( رياضة )

بسم الله الرحمن الرحيم
المراجــعــــــــه النهـــــــــائــــيه
الجزء الثانى ( الاشتقاق)

للداله ص = د(س)_________________________
***********************
(1) دالة التغير ت(هـ) = د( س 2)– د( س 1 ) = د( س 1+هـ) – د(س 1 )
(2) دالة متوسط التغير م(هـ) = د|( |س| 1 |+|هـ|) |– |د|(| س| 1 )|
هـ
(3) معدا التغير = هه 0 د|( |س| 1 |+|ه|ـ) |–| د|(س| 1 )|
هـ

_________________________________________
عندما د(س) = س 2 - 5س
فان د(2 ) =(2)@ - 5(2)
& د( س+هـ) = (س+هـ) 2 ؛ 5( س+هـ)
مثال (1) أوجد متوسط التغير للداله د حيث د(س) = س2 +1 عندما تتغير
س من 2 الى 1و2 ثم احسب معدل التغير لهذه الداله عند س=1
الحل:-
س 1 = 2 & س 2 = س 1 + هـ = 1و2 إ هـ = 1و
إ م(هـ) = د|(|||2+|هـ|)| –| د|(2|)
هـ

= أ{| |2+|ه|ـ)|2| +||1ٍ | -| |أ|{ 2||)|2 |+|1ٍ| = 4|+|4|هـ|+|هـ|2|+|1|-|4|-|1
هـ هـ
= هـ| (| |4|+|ه|ـ)| = 4+هـ
هـ
عندما هـ = 1و
ّّّّ******************
إ م(هـ) = 1و 4
معدل التغير = هه0 د|( 2| |+|ه|ـ)|–|د|(2|) = هه 0 ( 4+هـ) =4
هـ
مثال (2) أول 2002
اذا كانت د(س) = س2 -3س أوجد دالة التغير ت(هـ) عند س =1
ثم أوجد ت(- !؛2 )
الحل :-
بم ت(هـ) = د (س 1 +هـ) – د( س 1 )
حيث س 1 = 1 , س 1+هـ=1+هـ
عندما س1
***************** ت(هـ) = أ{ 1+هـ)@ - 3(1+هـ)ٍ - أ-2ٍ
= 1+2هـ +هـ2 -3 -3هـ +2
= هـ2 – هـ
عندما هـ = !؛2
*********** **********************
ت(!؛2 ) = (!؛2 )2 - !؛2 = - !؛ 4
مثال (3) 2000ثان , 2007 أول
أوجد دالة متوسط التغير لهذه الداله د (س) = [س ثم أوجد معدل التغير
لهذه الداله عند س = 4
الحل :-
دالة متوسط التغير م(هـ) = د|(س|+|ه|ـ) |–د|{|س}
هـ
= [|س/|+|/ه|ـ/ | -| |[|س|
هـ
معدل التغير = هه 0 ( س|+| ه|ـ|) !|؛2 -| س| !؛2 |= !؛2 س _ !؛2 = 1|
(س +هـ) - س 2 وس
عندما س = 4
معدل التغير = 1| = 1|
2 و4 4

مثال (4) اذا كانت ص = س2 +5س أوجد عند س =3
(أ‌) دالة التغير ت(هـ) واستنتج ت(5و )
(ب‌) دالة متوسط التغير م(هـ) واستنتج م( 5و)
(حـ) معدل تغير الداله عند س= 3
الحل:-
(أ) عند س 1 = 3 , س 2 = س 1 +هـ = 3+هـ
ت(هـ) = د( 3+هـ) –د(3)
=أ( 3+هـ) @ + 5( 3+هـ)ٍ - أ(3)@ +5(3)ٍ
= 9 +6هـ +هـ @ +15 +5هـ -9 -15
= هـ2 +11هـ
عندما هـ =5و
*************
ت( 5و) = ( 5و)2 + 11 (5و) = 75و5
(ت‌) م(هـ) = د(| |3+|ه|ـ)| –|د(|3) = هـ| (|هـ| +||11|)
هـ هـ
= هـ +11
م( 5و) = 5و +11 = 5و 11
(حـ) ( معدل تغير الداله) = هه 0 = م(هـ)
= هه 0 هـ + 11 = 11

مثال (5) اذاكانت د(س) =أس2 +بس +4 فأوجد عند س =3
دالة التغير ت(هـ) واذا كانت د(3) 4 , ت(!؛2 ) = &؛4
فما قيمة كل من أ , ب
---------------------------------------------
ت(هـ) = د(3+هـ) –د(3) , عند س=3
= أأ (3+هـ)2 +ب(3+هـ)+4ٍ - أأ(3) @ -ب(3)+4ٍ
= أ9أ+6أهـ+ أهـ2+3ب+ب هـ+4ٍ - أ9أ +3ب+4ٍ
= أهـ2 +6أهـ +ب هـ .........(1)
بم د(3) =4 بالتعويض فى الدالة المعطاه عن س =3 , د(س) =4
إ 4 = 9أ +3ب +4
3أ +ب = 0 ..................(2)
بم ت( !؛2 ) = &؛4 بالتعويض فى(1) عن هـ = !؛2 , ت(هـ) = &؛4
إ &؛4 = أ × !؛4 + 3أ + !؛2 ب بالضرب فى 4
7= أ +12أ +2ب إ 13أ +2ب = 7 ......(3)
_ 6أ _+2ب=0 (2’ )
__________ بالطرح
7أ =7 إ أ = 1
ومن (2) ب = -3

ة المثلث ’
(1) محيط ة المربع ’
ة المستطيل ’ = مجموع أطوال الأضلاع
ة المعين ’
ة متوازى الاضلاع ’
________________________________
(2) المساحات الهامه:-
مساحة سطح المثلث = !؛2 القاعده × الارتفاع
مساحة سطح المربع = ( طول الضلع) 2
مساحة سطح المستطيل = ألطول × العرض
مساحة سطح الدائره = ط نق 2
مساحة سطح المكعب = 6ل 2 = 6مربعات ( ل =طول الحرف)
___________________________________
(3) أهم الحجوم :-
حجم المكعب = (طول الحرف)3
حجم متوازى المستطيلات = ألطول × ألعرض× ألارتفاع

مثال(6) يعطى حجم مزرعة للبكتريا عند أى لحظه زمنيه ن (مقيسه بالدقائق) بالعلاقه ح =2ن@ ملليجرام . أوجدمعدل النمو للداله ح
عندما ن = 2 دقيقه.
الحل :-
بم ح = د(ن) =2 ن@
معمعدل النمو = هه 0 د ( |ن+|ه|ـ)| |– |د(|ن)|
هـ
= هه 0 2(| ن|+|ه|ـ)|2 |-|2ن2
هـ
= 2 هه 0 ( |ن+|هـ|)@ |- |ن @
(ن+هـ) - ن
= 2×2ن = 4ن
عندما ن = 2
معدل النمو = 4×2 = 8 ملليجرام/ دقيقه
_______________________________
مثال(7)صفيحة مربعة الشكل تتمدد بحيث تظل محتفظه بشكلها
أحسب متوسط التغير فى مساحتها عندما يتغير طول ضلعهامن 10
الى1و10 سم .ثم احسب معدل التغير عندما يكون طول ضلعها 20سم.
الحل:-
مساحة سطح الصفيحة ص = د(س) =س2
م(هـ) = د(|س|+|هـ|) |– |د|(س|) = (س|+|هـ|)|2 |–| |س2|
هـ هـ
عندما س = 10 , س+هـ = 1و 10 إ هـ = 1و
إ م(هـ) = (|||||||||1و10||||||)2| –| |(10||||||)2 = 1و20
1و
معدل التغير = هه 0 (س|+|هـ|)|2| –| س2 = 2س
هـ
عندما س =20
معدل التغير = 2×20 = 40

مثال ( صفيحة رقيقه مستطيلة الشكل تتمدد بانتظام (محتفظه بشكلها)
طولها ضعف عرضها أوجد :-
(أ‌) متوسط تغير مساحتها السطحيه عندما يتغيرالعرض من 1سم الى 2و1
(ب‌) معدل التغير فى المساحه عندما العرض = 15سم.
الحل:-
بفرض العرض س سم
إ الطول = 2س سم
(أ) المساحة ص = د(س) = س×2س= 2س2

متوسط ألتغير م(هـ) = د(|س|+|هـ|) |– |د(|س|) =2(|س|+|هـ|)|2-|2|(س)2
هـ هـ
عندما س =1 ,س+هـ = 2و 1 إ هـ =2و
إ متوسط ألتغير = 2|(|2و1|)|2-| |2(|1|)|2 = 4و 4
2و
(ب) معدل التغير = هه 0 د(|س|+|هـ|)- |د(|س)
هـ
= 2 هه 0 ( س|+ه|ـ )2|| –| س2| = 2×2س
هـ
عندما س =15 سم
إ معدل أ لتغير = 4× 15= 60 سم2/ ث

مثال (9) صفيحه دائرية الشكل تتمدد بانتظام (محتفظه بشكلها). أوجد معدل التغير فى مساحة الصفيحه بالنسبه الى طول نصف قطرها عندما يكون طول نصف القطر 14 سم
( ط = @؛@؛7 ) .
الحل:-
مساحة سطح الدائره م = د(نق) = ط نق2
معدل ألتغير = هه 0 د (| نق|+|ه|ـ) |–|د |(|نق)|
هـ
إ معدل ألتغير فى المساحة = هه 0 ط |(| نق| |+|ه|ـ)|2|- |ط|(نق|)2|
هـ
= ط هه 0 (نق |+|هـ|)|2 |–(|نق)|2 = 2ط نق
هـ
عندما نق = 14سم
معدل ألتغير فى المساحه = 2× @؛@؛7 ×14 = 88 سم2/ث

مثال (10) 2006 أول
مكعب يتمدد بأنتظام بحيث يظل محتفظا بشكله. أحسب متوسط ألتغير فى مساحته الكليه وذلك عندما يتغير طول حرفه من 3سم الى 2و3 سم ثم احسب معدل تغيرمساحته الكليه عندما يكون طول حرفه 3سم.

الحل :-
بفرض طول الحرف = س سم
تكون مساحة ألوجه = س2
المساحة الكليه = مساحة الجوانب السته
إ م(س) = 6 س2
م (هـ) = د(|س|+|هـ |) |–| د|(|س|) = 6 |(س|+|هـ|)|2 –| |6(|س|)2
هـ هـ
عندما س =3 , س+هـ = 2و3 إ هـ = 2و
إ م(هـ) = |6 (|2و| 3)@| -| |6(|3)@| = 2و37
2و
معدل التغير فى المساحه الكليه = هه 0 6أ|{س|+|هـ|)2| – | س| 2ٍ = 6×2س
{س+هـ} – س
عندما س = 3 إ معدل التغير = 12×3 = 36 سم2 /ث
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
حاول بنفسك _مسائل متنوعه
(1) أزهر 2007
اوجد دالة متوسط ألتغير للدالة د حيث د(س) = س2 -3س , ثم أحسب معدل التغير لهذه ألداله عند س =3

(2) سودان 2007
أوجد دالة متوسط ألتغير للدالة د حيث د(س) = س2 +1 عندما تتغير س
من 2 الى 1و 2 ثم احسب معدل التغير لهذه ألداله عند س =2 .
الجواب (1و4 ,4)
______________________________________
(3) اذا كانت د(س) = 4س2 +50 فأوجد دالة متوسط ألتغير للداله د ثم احسب معدل التغير لهذه ألداله عند س = 3 .
الجواب ( 2س+هـ , 6)
(4) 2005 ثان
اذاكانت د(س) = س2 +أس -3 فأوجد دالة التغير ت(هـ) عندما س=2 , ,اذاكانت ت( !؛2 ) = )؛!؛4 فأوجد قيمة أ
الجواب (هـ2 +4هـ+أهـ, 5)
(5) 2002 أول & 1999
أوجد دالة متوسط ألتغير للداله د حيث د(س) = س2 +2 وذلك عند
س = 2 ثم احسب متوسط التغير لهذه الداله عندما تتغير س من 3 الى
1و3 . الجواب 1و6

(6) 2001 ثان
أوجد دالة متوسط ألتغير للداله د حيث د(س) = 1÷س
ومن ثم احسب معدل التغير لهذه الداله عند س =[3 .
الجواب - !؛3
(7) 95 ثان أوجد متوسط تغير الداله
ص = 1 ÷ ( س+1) عندما تتغير س من س 1 الى س 1 +هـ ثم أحسب
المتوسط عندما تتغير س من 2 الى &؛3 .
الجواب ( !؛00 1 )